专家评析：2012年高考试题

数学 考查创新能力 倡导探究意识

　　突出数学观点、数学思想，重视函数应用，侧重导数在研究函数性质中的工具价值

　　■周沛耕（北京大学附中数学特级教师）

　　与往年相比，今年高考全国数学新课标卷试题有4个特点：一是对考生审题并制定可行的解题计划方面提出了较高要求；二是在控制计算总量，节约考生答题时间上下了一番功夫；三是突出了数学观点、数学思想的考查；四是重视函数在实际问题中的应用，强调了导数在研究函数性质中的工具价值。

　　这些特点意在体现新课程标准的数学理念，引导学生学会具体问题具体分析，引导高考总复习逐渐摆脱题海，摆脱资料，走上科学的备考之路。例如文、理共用的第4题，已知条件中给出了底角为30°的等腰三角形，考生不应当一上手就画等腰三角形，更没有必要通过解析运算求出三角形顶点的位置，只需要两焦点间线段是这个等腰三角形的腰，就可借助抛物线定义引出可求离心率的代数式，计算量很小。

　　例如文、理共用的求等轴双曲线实轴之长的题目，已知条件内容较多，有等轴双曲线，有抛物线，有抛物线的准线，有准线上的线段长度等，考生应当尽量判断出是双曲的左支与抛物线的准线相交形成已知长度的线段，很容易由此求出双曲线实轴的长度。

　　在全国高考数学（课标）试卷中，理科填空题的最后一题与文科选择题的最后一题相同，显然是命题者设定的能力要求较高的题，题目给出了一个学生不熟悉的以递推方式表达的数列，这个数列由于第一项不确定，所以不可能用一个简单的通项公式求出每一项的数值，但是题目却问了很具体的问题——求前60项的和，面对这个在考前练习题、模拟卷上从未见过的问题，如果硬要利用公式，利用“方法”与“技巧”，利用从前见过的“类题”或者“二级结论”去求前几项和，只能浪费宝贵的答题时间，最终一无所获。相反，具体问题具体分析，从简单、具体处入手探求解题之路则可轻易解决问题。本题解法多样，以下介绍一种较为简单且计算量较少的途径：

　　求出第2、第3两项之和，第4、第5两项之和，第6、第7两项之和，…，求出第60、第61两项之和得到30个数，把30个数求和得1830。所求的该数列前60项的和等于1830+a1-a61，再逐项演算发现a1=a5=a9=…=a61，问题就解决了。从这个试题看出，锻炼学生的探究能力，学会具体问题具体分析是提高学生能力的主要途径。

　　人们早已注意到，课标类高考数学对考生能力要求的7个能力之首是空间想象能力，往年考查空间想象能力的立体几何都重在空间向量演算，计算量较大，对考生来说，既不易想，又不易算，尽管立体几何题从来没出过难题，但是考生对立体几何的把握不大，今年文、理共用的立体几何题素材相同，难度适中，在减少计算量上做了努力。

　　比如文、理共用的素材之一是球的问题，表面看来学生们对三棱锥、四棱锥、平行六面体比较熟悉，对球较陌生，其实只要认识到直径上的圆周角是直角（平面几何中的垂径定理），直角三角形斜边中线长度是斜边长之半等常见结论，解出球的问题并不难，也不必考前预先做大量球的练习题。

　　与往年一样，文、理科的“压轴题”是函数、不等式、导数的综合题。压轴题的第2问不是“求取值范围”问题，而是求参数的最大值，理科试题中导数的应用在选择题最后一题、文科试题中导数的应用在填空题的第1小题中出现，这说明今年比较重视导数的应用。

　　以理科压轴题（全卷必答题第21题）为例，在第1问求出函数的解析式后，根据题目要求，结合不等式的本质意义先后需考生构造出两个函数，再对两个函数分别用导数为工具研究，得到函数的单调性后，再利用单调性求出参数的范围。用导数发现所构造函数的先增后减，求得最大值，从而体现了试题的创新性，对于“记成题”、“背解法”、“讲套路”的备考方式来说是一个批判。

试题不拘一格，常出常新是值得充分肯定的。随着全国课程标准教学的深入，今后高考数学题一定会朝着考查创新能力、探究意识上进一步提高命题水平，在总体保持稳定（难度系数稳定、题量稳定、考查范围稳定）的基础上不断出现高质量、高水平的好题。

来源：中国教育新闻网—中国教育报